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Help:Rotationen mit Quaternionen (Einführung in die Quaternionen-Mathematik)
Im Jahr 1843 erarbeitete Sir William Rowan Hamilton ein vierdimensionales Zahlensystem samt zugehöriger Algebra, das er als Quaternionen (lat. quaternio: „Vierheit“) bezeichnete. Die Quaternionen verstehen sich als Erweiterung der reellen Zahlen um drei weitere Dimensionen. Quaternionen finden häufig Verwendung bei der Beschreibung von Drehungen im dreidimensionalen Raum, z.B. in der Computergrafik oder in Reglern und Simulationen in Luft- und Raumfahrt. Sie bieten eine sehr elegante Möglichkeit, Drehungen im dreidimensionalen Raum zu beschreiben und Nachteile von Matrixtransformationen zu umgehen.
Zunächst mag es erstaunlich und vielleicht auch erschreckend sein, sich einer vierdimensionalen Algebra bei der Beschreibung von Transformationen in einem dreidimensionalen Raum zu bedienen, zumal Quaternionen vielfach nicht Inhalt der Lehre während der mathematischen Grundausbildung an Hochschulen und Universitäten sind. Ich möchte daher auf dieser Seite versuchen, einen kurzen, praktisch orientierten Einblick in den Körper der Quaternionen zu geben und auf die Vor- und Nachteile der Quaternionen und Rotationsmatrizen/Matrixtransformationen einzugehen. Diese Einführung legt dabei bewusst Hauptaugenmerk auf die Verwendung von Beispielen, um den Einstieg in die Thematik zu erleichtern.
Elementare Transformationen von Punkten im dreidimensionalen Raum
Ein Vektor <math>\vec{P} \in \mathbb{R}^3</math> soll den Ortsvektor eines Punktes im dreidimensionalen Raum (<math>\mathbb{R}^3</math>) in kartesischen Koordinaten beschreiben. Der Vektor <math>\vec{P}</math> besteht aus den Komponenten
{{#if:
|}}
Dieser Punkt kann nun verändert (transformiert) werden; dabei entsteht ein neuer, transformierter Punkt <math>\vec{P}^\star \in \mathbb{R}^3</math> mit <math>\vec{P}^\star = \begin{pmatrix} P_x^\star \\ P_y^\star \\ P_z^\star \end{pmatrix}</math>. Folgende Transformationen des Ursprungspunktes <math>\vec{P}</math> sind beispielsweise denkbar:
- Verschiebung (Translation)
- Drehung um eine Rotationsachse (Rotation)
- Spiegelung
- Projektion auf eine Koordinatenebene (x-y-, y-z- oder x-z-Ebene).
Spricht man nicht nur von einem einzelnen Punkt <math>\vec{P}</math>, sondern von einer Menge <math>\mathcal{P}</math> von Punkten <math>\vec{P}_i</math> und damit von einem Objekt, z.B. den Eckpunkten eines Quaders, so sind folgende zusätzliche Transformationen denkbar:
- Scherung/Deformation
- (dimensionsweise) Vergrößerung/Verkleinerung (Skalierung)
- perspektivische Transformation.
An dieser Stelle soll nun jede der vorgenannten Transformationen näher beleuchtet werden.
Verschiebung (Translation)
{{#if:
|}}
Drehung um eine Rotationsachse
| Rotationsachse | Rotationsmatrix |
|---|---|
| x-Achse <math>(1,0,0)^\mathrm{T}</math> |
<math>\underline{R_x}(\varphi) = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \varphi & -\sin \varphi \\ 0 & \sin \varphi & \cos \varphi \end{pmatrix}</math> |
| y-Achse <math>(0,1,0)^\mathrm{T}</math> |
<math>\underline{R_y}(\varphi) = \begin{pmatrix}
\cos \varphi & 0 & \sin \varphi \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \varphi & 0 & \cos \varphi \end{pmatrix}</math> |
| z-Achse <math>(0,0,1)^\mathrm{T}</math> |
<math>\underline{R_z}(\varphi) = \begin{pmatrix}
\cos \varphi & -\sin \varphi & 0 \\ \sin \varphi & \cos \varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> |
| \vec{n} \| = 1</math> | <math>\underline{R_{\vec{n}}}(\varphi) = \begin{pmatrix}
\cos \varphi +n_x^2 \left(1-\cos \varphi \right) & n_x n_y \left(1-\cos \varphi \right) - n_z \sin \varphi & n_x n_z \left(1-\cos \varphi \right) + n_y \sin \varphi \\ n_y n_x \left(1-\cos \varphi \right) + n_z \sin \varphi & \cos \varphi + n_y^2\left(1-\cos \varphi \right) & n_y n_z \left(1-\cos \varphi \right) - n_1 \sin \varphi \\ n_z n_x \left(1-\cos \varphi \right) - n_y \sin \varphi & n_z n_y \left(1-\cos \varphi \right) + n_x \sin \varphi & \cos \varphi + n_z^2\left(1-\cos \varphi\right) \end{pmatrix}</math> |
{{#if:
|}}
