Editing Entfernungsberechnung mit Quaternionen und Geodäten (section)

=== Kurzeinführung in die Quaternionen-Theorie ===

Quaternionen<ref>Die Menge der Quaternionen wird mit $\mathbb{H}$ bezeichnet.</ref> erweitern die komplexen Zahlen um zwei weitere Dimensionen; es handelt sich somit um hyperkomplexe Zahlen (4-dimensional). Die Struktur ähnelt dabei der komplexer Zahlen: Es existieren ein Realteil und drei Imaginärteile mit den imaginären Einheiten $\ii$, $\jj$ und $\kk$. Ein Quaternion $q$ kann ausführlich mit
\begin{equation}
	q \in \mathbb{H}, \quad q = x_0 + \ii x_1 + \jj x_2 + \kk x_3
\end{equation}
oder in Kurzschreibweise
\begin{equation}
	q = \left[ x_0, \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \right]
\end{equation}
geschrieben werden. Dabei ist $x_0$ der Realteil und der Vektor $(x_1,x_2,x_3)^\mathrm{T}$ der 3-dimensionale Imaginärteil.

Eine Koordinate $(x,y,z)^\mathrm{T}$ im $\mathbb{R}^3$ kann als Quaternion mit Realteil $0$ und dem Koordinatentripel $(x,y,z)^\mathrm{T}$ als Imaginärteil ausgedrückt werden:
\begin{gather}
	\mathbf{P} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \Rightarrow P = \left[ 0, \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \right] \\
	\notag \text{mit } \mathbf{P} \in \mathbb{R}^3, P \in \mathbb{H}
\end{gather}

Rotationen sind mit einem Rotationsquaternion
\begin{equation}
	q_R(\alpha, \mathbf{u}) = \left[ \cos \frac{\alpha}{2}, \sin \frac{\alpha}{2} \cdot \mathbf{u} \right]
\end{equation}
möglich. Dabei ist $\alpha$ der Rotationswinkel, $\mathbf{u}$ die auf $1$ normierte Rotationsachse ($\mathbf{u} \in \mathbb{R}^3, \| \mathbf{u} \| = 1$). Ein gedrehter Punkt $\mathbf{P}^\star$ entsteht nun durch Multiplikation<ref>Die Quaternionenmultiplikation ist nicht kommutativ. Wichtige Rechenregeln für das hier vorgestellte Verfahren:<br />
'''konjugiert hyperkomplexes Quaternion $\overline{q}$:'''
	\begin{equation*}
		q = [x_0, \mathbf{x}] \qquad \overline{q} = [x_0, -\mathbf{x}]
	\end{equation*}
'''Quaternionenmultiplikation (nicht kommutativ):'''
	\begin{equation*}
		q_1 \cdot q_2 = [a, \mathbf{v}] \cdot [b, \mathbf{w}] = [ab - \langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle, a \mathbf{w} + b \mathbf{v} + \mathbf{v} \times \mathbf{w}]
	\end{equation*}
</ref> des Rotationsquaternions $q_R$ mit dem Quaternion $P$ des Ursprungspunktes $\mathbf{P}$ und dem hyperkomplex konjugierten Rotationsquaternion $\overline{q_R}$:
\begin{equation}
	P^\star = [0, \mathbf{P}^\star ] = q_R(\alpha, \mathbf{u}) \cdot [0, \mathbf{P} ] \cdot \overline{q_R}(\alpha, \mathbf{u})
\end{equation}