Editing Entfernungsberechnung mit Quaternionen und Geodäten (section)

== Entfernungsberechnung mit Quaternionen ==

=== Ansatz ===

Gegeben seien zwei Punkte $\mathbf{P}_1$ und $\mathbf{P}_2$ auf dem Erdellipsoiden. Der Ansatz des erarbeiteten Verfahrens besteht nun darin, den Ellipsoiden derart zu transformieren, dass $\mathbf{P}_1$ auf der Abszisse liegt und zudem beide Punkte in der $x$-$y$-Ebene ($z=0$) liegen. Anschließend wird die parametrisierte Schnittgleichung der $x$-$y$-Ebene mit dem transformierten Erdellipsoiden ermittelt. Anhand dieser Kurve lässt sich nun die Entfernung über die Bogenlänge ermitteln; als Ergebnis ergibt sich damit die Distanz zwischen beiden Punkten.

Zur schrittweisen Transformation (Rotation) des Rotationsellipsoiden werden Quaternionen verwendet, da sie gegenüber Rotationsmatrizen einige Vorzüge aufweisen:
* kleinerer (numerischer) Rechenaufwand bei verketteten Vektoroperationen
* kompakte Struktur: Quaternionen können mit weniger Speicheraufwand abgelegt werden (4 Elemente, Rotationsmatrix: 9 Elemente)
* Problem des sog. ''Gimbal Lock'', der Verlust eines Freiheitsgrades, wird verhindert

Aufgrund dieser Vorzüge werden Quaternionen häufig in der Luft- und Raumfahrttechnik zur Lageregelung verwendet.


=== Kurzeinführung in die Quaternionen-Theorie ===

Quaternionen<ref>Die Menge der Quaternionen wird mit $\mathbb{H}$ bezeichnet.</ref> erweitern die komplexen Zahlen um zwei weitere Dimensionen; es handelt sich somit um hyperkomplexe Zahlen (4-dimensional). Die Struktur ähnelt dabei der komplexer Zahlen: Es existieren ein Realteil und drei Imaginärteile mit den imaginären Einheiten $\ii$, $\jj$ und $\kk$. Ein Quaternion $q$ kann ausführlich mit
\begin{equation}
	q \in \mathbb{H}, \quad q = x_0 + \ii x_1 + \jj x_2 + \kk x_3
\end{equation}
oder in Kurzschreibweise
\begin{equation}
	q = \left[ x_0, \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \right]
\end{equation}
geschrieben werden. Dabei ist $x_0$ der Realteil und der Vektor $(x_1,x_2,x_3)^\mathrm{T}$ der 3-dimensionale Imaginärteil.

Eine Koordinate $(x,y,z)^\mathrm{T}$ im $\mathbb{R}^3$ kann als Quaternion mit Realteil $0$ und dem Koordinatentripel $(x,y,z)^\mathrm{T}$ als Imaginärteil ausgedrückt werden:
\begin{gather}
	\mathbf{P} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \Rightarrow P = \left[ 0, \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \right] \\
	\notag \text{mit } \mathbf{P} \in \mathbb{R}^3, P \in \mathbb{H}
\end{gather}

Rotationen sind mit einem Rotationsquaternion
\begin{equation}
	q_R(\alpha, \mathbf{u}) = \left[ \cos \frac{\alpha}{2}, \sin \frac{\alpha}{2} \cdot \mathbf{u} \right]
\end{equation}
möglich. Dabei ist $\alpha$ der Rotationswinkel, $\mathbf{u}$ die auf $1$ normierte Rotationsachse ($\mathbf{u} \in \mathbb{R}^3, \| \mathbf{u} \| = 1$). Ein gedrehter Punkt $\mathbf{P}^\star$ entsteht nun durch Multiplikation<ref>Die Quaternionenmultiplikation ist nicht kommutativ. Wichtige Rechenregeln für das hier vorgestellte Verfahren:<br />
'''konjugiert hyperkomplexes Quaternion $\overline{q}$:'''
	\begin{equation*}
		q = [x_0, \mathbf{x}] \qquad \overline{q} = [x_0, -\mathbf{x}]
	\end{equation*}
'''Quaternionenmultiplikation (nicht kommutativ):'''
	\begin{equation*}
		q_1 \cdot q_2 = [a, \mathbf{v}] \cdot [b, \mathbf{w}] = [ab - \langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle, a \mathbf{w} + b \mathbf{v} + \mathbf{v} \times \mathbf{w}]
	\end{equation*}
</ref> des Rotationsquaternions $q_R$ mit dem Quaternion $P$ des Ursprungspunktes $\mathbf{P}$ und dem hyperkomplex konjugierten Rotationsquaternion $\overline{q_R}$:
\begin{equation}
	P^\star = [0, \mathbf{P}^\star ] = q_R(\alpha, \mathbf{u}) \cdot [0, \mathbf{P} ] \cdot \overline{q_R}(\alpha, \mathbf{u})
\end{equation}


=== Verfahren zur Entfernungsberechnung ===

==== Beschreibung der Verfahrensschritte ====

Im ersten Verfahrensschritt wird der Rotationsellipsoid (Gleichung für $\mathbf{P}_i (\vartheta_i,\varphi_i)$) derart rotiert, dass der Punkt $\mathbf{P}_1$ mit $(\vartheta_1, \varphi_1)$ auf der $x$-$z$-Ebene liegt. Dazu ist eine Drehung um $\alpha_1 = - \varphi_1$ um die Applikate notwendig. Es entsteht ein gedrehter Rotationsellipsoid<ref>Die hochgestellte Ziffer in Klammern links von $\mathbf{P}$ bzw. $P$ symbolisiert die jeweilige Stufe der Transformation (1: erste Transformation, 2: zweite Transformation, etc. pp.).</ref>
\begin{gather}
	\Prefix^{(1)}{P} = [0, \Prefix^{(1)}{\mathbf{P}}] = q_R(\alpha_1, \mathbf{u}_1) \cdot [0, \mathbf{P}] \cdot \overline{q_R}(\alpha_1, \mathbf{u}_1) \\
	\notag \text{mit } \alpha_1 = -\varphi_1, \ \mathbf{u}_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \\
	\notag \Prefix^{(1)}{\mathbf{P}} \xlongequal{\text{def.}} \begin{pmatrix} \Prefix^{(1)}{P}_x(\vartheta, \varphi, \ldots) \\ \Prefix^{(1)}{P}_y(\vartheta, \varphi, \ldots) \\ \Prefix^{(1)}{P}_z(\vartheta, \varphi, \ldots) \end{pmatrix}. 
\end{gather}

Analog zum ersten Verfahrensschritt wird der Ellipsoid nun um die Ordinate derart gedreht, dass $\mathbf{P}_1$ auf die Abszisse ausgerichtet wird:
\begin{gather}
	\Prefix^{(2)}{P} = q_R(\alpha_2, \mathbf{u}_2) \cdot \Prefix^{(1)}{P} \cdot \overline{q_R}(\alpha_2, \mathbf{u}_2) \\
	\notag \text{mit } \alpha_2 = \arctan \left( \frac{\Prefix^{(1)}{P}_z(\vartheta = \vartheta_1, \varphi = \varphi_1, \ldots)}{\Prefix^{(1)}{P}_x(\vartheta = \vartheta_1, \varphi = \varphi_1, \ldots)} \right), \\
	\notag \mathbf{u}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \Prefix^{(2)}{\mathbf{P}} \xlongequal{\text{def.}} \begin{pmatrix} \Prefix^{(2)}{P}_x(\vartheta, \varphi, \ldots) \\ \Prefix^{(2)}{P}_y(\vartheta, \varphi, \ldots) \\ \Prefix^{(2)}{P}_z(\vartheta, \varphi, \ldots) \end{pmatrix}. 
\end{gather}

Im letzten Transformationsschritt wird $\Prefix^{(2)}{\mathbf{P}}$ so gedreht, dass der Punkt $\mathbf{P}_2$ auf der $x$-$y$-Ebene liegt:
\begin{gather}
	\Prefix^{(3)}{P} = q_R(\alpha_3, \mathbf{u}_3) \cdot \Prefix^{(2)}{P} \cdot \overline{q_R}(\alpha_3, \mathbf{u}_3) \\
	\notag \text{mit } \alpha_3 = - \arctan \left( \frac{\Prefix^{(2)}{P}_z(\vartheta = \vartheta_2, \varphi = \varphi_2, \ldots)}{\Prefix^{(2)}{P}_y(\vartheta = \vartheta_2, \varphi = \varphi_2, \ldots)} \right), \\
	\notag \mathbf{u}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \Prefix^{(3)}{\mathbf{P}} \xlongequal{\text{def.}} \begin{pmatrix} \Prefix^{(3)}{P}_x(\vartheta, \varphi, \ldots) \\ \Prefix^{(3)}{P}_y(\vartheta, \varphi, \ldots) \\ \Prefix^{(3)}{P}_z(\vartheta, \varphi, \ldots) \end{pmatrix}. 
\end{gather}

Mit $\Prefix^{(3)}{\mathbf{P}}$ steht nun eine Parametergleichung für die transformierte Erde zur Verfügung. Beide Punkte $\Prefix^{(3)}{\mathbf{P}}_1$ bzw. $\Prefix^{(3)}{\mathbf{P}}_2$ im transformierten Koordinatensystem liegen nun in der $x$-$y$-Ebene; die $z$-Komponente ist jeweils Null.

==== Herleitung des Lösungswegs ====

Die Bogenlänge zwischen zwei Punkten auf einer ebenen, rektifizierbaren Kurve mit dem Parameter $t \mapsto \left( x(t), y(t) \right)^\mathrm{T}$ kann allgemein mit
\begin{equation}
	\alpha \leq t \leq \beta: \ \int \limits_{\alpha}^{\beta} \sqrt{\dot{x}(t)^2 + \dot{y}(t)^2} \, \dd t
\end{equation}
ermittelt werden. Hierbei hängt die vorhandene Parametergleichung $\Prefix^{(3)}{\mathbf{P}}$ jedoch von zwei Parametern $\vartheta$ und $\varphi$ ab. Eine Einschränkung auf einen Parameter ist daher notwendig, so dass eine zwei-dimensionale Parametergleichung
\begin{equation}
	\Prefix^{(4)}{\mathbf{P}} = \begin{pmatrix} \Prefix^{(4)}{P}_x (\varphi) \\ \Prefix^{(4)}{P}_y (\varphi) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \Prefix^{(3)}{P}_x \left(\vartheta(\varphi), \varphi \right) \\ \Prefix^{(3)}{P}_y \left(\vartheta(\varphi), \varphi \right) \end{pmatrix}
\end{equation}
entsteht. Da für das Verfahren lediglich der Schnitt durch $z=0$ relevant ist, erhält man durch Lösung von $\Prefix^{(3)}{P}_z(\ldots) \stackrel{!}= 0$ einen Zusammenhang beider Parameter: $\vartheta(\varphi) = \ldots$

Schließlich ergibt sich der Abstand beider Punkte durch Integration von
\begin{equation}
		\int \limits_{\varphi_1}^{\varphi_2} \sqrt{\left( \frac{\dd}{\dd \varphi} \ \Prefix^{(4)}{P}_x(\varphi) \right)^2 + \left( \frac{\dd}{\dd \varphi} \ \Prefix^{(4)}{P}_y(\varphi) \right)^2} \, \dd \varphi.
\end{equation}