Editing Entfernungsberechnung mit Quaternionen und Geodäten (section)

=== Parametrisierung der Erde als Kugel ===

Der Sinn und Zweck der Kugelparametrisierung besteht darin, explizite Zusammenhänge für die $x$-, $y$- und $z$-Koordinaten einer Kugel zu erhalten. Die Grundannahme besteht in einer Kugel mit einem gegebenen Radius $r$, deren Mittelpunkt im Koordinatenursprung $(0,0,0)^\mathrm{T}$ liegt. Alle zu betrachtenden Punkte liegen auf der Kugeloberfläche; Höhenunterschiede auf der Kugeloberfläche werden vernachlässigt (keine topografische Modellierung).

Jeder Punkt $\tilde{\mathbf{P}}_i$ auf der Kugeloberfläche lässt sich nun durch zwei Winkel $\vartheta_i$ und $\varphi_i$ beschreiben:
\begin{gather}
	\tilde{\mathbf{P}}_i (\vartheta_i,\varphi_i) = \begin{pmatrix} \tilde{P}_x(\vartheta_i,\varphi_i) \\ \tilde{P}_y(\vartheta_i,\varphi_i) \\ \tilde{P}_z(\vartheta_i) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r \sin \vartheta_i \cos \varphi_i \\ r \sin \vartheta_i \sin \varphi_i \\ r \cos \vartheta_i \end{pmatrix} \\
	\text{mit } r = \text{const.}, \vartheta_i \in [0,\pi], \varphi_i \in [0,2\pi[. \notag
\end{gather}

[[File:Gradnetz erde.svg|thumb|right|250px|Gradnetz der Erde]]

Zur Anwendung dieser Parametrisierung auf das Gradnetz der Erde ist eine Winkelanpassung notwendig, denn das Gradnetz der Erde läuft von $180^\circ$ W bis $180^\circ$ E bzw. $90^\circ$ N bis $90^\circ$ S (vgl. nebenstehende Abb.). Bei dieser Gelegenheit wird der bislang noch nicht definierte Radius $r$ mit dem Erdradius $r_{\earth}$ aus dem WGS84-Referenzellipsoiden<ref>Das WGS84 (engl. ''World Geodetic System 1984'') ist ein Referenzsystem für Positionsangaben auf der Erde. Es definiert u.a. den Rotationsellipsoiden der Erde mit seinem Radius der großen Halbachse und seiner Abplattung.</ref> belegt.

Dadurch entsteht nun die endgültige Parametrisierung für einen Punkt $\hat{\mathbf{P}}_i$ auf der als Kugel angenommenen Erde mit
\begin{gather}
	\begin{split}
		\hat{\mathbf{P}}_i (\vartheta_i,\varphi_i) &= \begin{pmatrix} \hat{P}_x(\vartheta_i,\varphi_i) \\ \hat{P}_y(\vartheta_i,\varphi_i) \\ \hat{P}_z(\vartheta_i) \end{pmatrix}\\
		&= \begin{pmatrix} r_{\earth} \sin \left( \frac{\pi}{2} - \vartheta_i \right) \cos \varphi_i \\ r_{\earth} \sin \left( \frac{\pi}{2} - \vartheta_i \right) \sin \varphi_i \\ r_{\earth} \cos \left( \frac{\pi}{2} - \vartheta_i \right) \end{pmatrix}
	\end{split} \\
	\text{mit } r_{\earth} = 6\,378\,137\,\text{m}, \vartheta_i \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right], \varphi_i \in \, ]-\pi,\pi]. \notag
\end{gather}

Die Berechnung der Distanz zwischen zwei Punkten auf der Kugeloberfläche ist unter Annahme der Kugelgestalt sehr einfach zu realisieren, da es sich bei der kürzesten Verbindung beider Punkte immer um ein Bogensegment eines Kreises mit Radius $r_{\earth}$ handelt. Der Winkel $\varepsilon$ zwischen den beiden Ortsvektoren der Punkte definiert das gesuchte Kreisbogensegment, dessen Länge $d$ dann über
\begin{equation}
	d(\varepsilon) = \frac{\pi \cdot r_{\earth}}{180^\circ} \cdot \varepsilon
\end{equation}
ermittelt werden kann.