Editing Entfernungsberechnung mit Quaternionen und Geodäten (section)

=== Einführung ===

Die '''Krümmung''' $k$ eines Kreises mit Radius $R$ ist $k=\frac{1}{R}$. Allgemein heißt $\gamma: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3$, $t \to \gamma(t)$ ''zulässige Parametrisierung'' einer Kurve, wenn die Abbildung dreimal stetig differenzierbar und $\gamma'(t) \neq 0$ (ein ${}^\prime$ meint die erste Ableitung nach dem Parameter), d.h. genau dann, wenn die {{sc|Jacobi}}sche '''maximalen Rang''' hat. Für rektifizierbare Kurven wählt man als Parameter die Bogenlänge $s$ ("`natürlicher Parameter"') und die Krümmung $k$ ist definiert als $k := \| \gamma^{\prime\prime}(s) \|$. (Hier ist $\|\ldots\|$ die {{sc|Euklid}}ische Norm).

'''Normalkrümmung''' einer Flächenkurve: Sei $(P_1(u^1,u^2),P_2(u^1,u^2),\mathbf{n}(u^1,u^2))$ das begleitende Dreibein einer Fläche mit zulässiger Parametrisierung $P: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$, $(u^1,u^2) \to P(u^1,u^2)$ (d.h. die Abbildung ist dreimal stetig differenzierbar und die {{sc|Jacobi}}sche hat maximalen Rang). Hier ist $P_1(u^1,u^2) := \frac{\partial P}{\partial u^1}$, $P_2(u^1,u^2) := \frac{\partial P}{\partial u^2}$, $\mathbf{n}$ sei der Normalenvektor. $P_1$ und $P_2$ sollen ''nicht'' parallel sein.

Die Normalkrümmung $k_n$ einer Flächenkurve ist die Komponente von $\gamma^{\prime\prime}$ bezüglich des Normalenvektors. Die Komponente von $\gamma^{\prime\prime}$ bezüglich der Tangentialebene heißt ''geodätische Krümmung'' $k_g$. Insgesamt gilt
\begin{equation}
	\gamma^{\prime\prime} = k_n \mathbf{n} + k_g \mathbf{e}
\end{equation}
und
\begin{equation}
	k^2 = k_n^2 + k_g^2
\end{equation}
mit dem Einheitsvektor $\mathbf{e}$ in der Tangentialebene.