Editing Entfernungsberechnung mit Quaternionen und Geodäten (section)

== Entfernungsberechnung mit Geodäten ==

=== Einführung ===

Die '''Krümmung''' $k$ eines Kreises mit Radius $R$ ist $k=\frac{1}{R}$. Allgemein heißt $\gamma: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3$, $t \to \gamma(t)$ ''zulässige Parametrisierung'' einer Kurve, wenn die Abbildung dreimal stetig differenzierbar und $\gamma'(t) \neq 0$ (ein ${}^\prime$ meint die erste Ableitung nach dem Parameter), d.h. genau dann, wenn die {{sc|Jacobi}}sche '''maximalen Rang''' hat. Für rektifizierbare Kurven wählt man als Parameter die Bogenlänge $s$ ("`natürlicher Parameter"') und die Krümmung $k$ ist definiert als $k := \| \gamma^{\prime\prime}(s) \|$. (Hier ist $\|\ldots\|$ die {{sc|Euklid}}ische Norm).

'''Normalkrümmung''' einer Flächenkurve: Sei $(P_1(u^1,u^2),P_2(u^1,u^2),\mathbf{n}(u^1,u^2))$ das begleitende Dreibein einer Fläche mit zulässiger Parametrisierung $P: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$, $(u^1,u^2) \to P(u^1,u^2)$ (d.h. die Abbildung ist dreimal stetig differenzierbar und die {{sc|Jacobi}}sche hat maximalen Rang). Hier ist $P_1(u^1,u^2) := \frac{\partial P}{\partial u^1}$, $P_2(u^1,u^2) := \frac{\partial P}{\partial u^2}$, $\mathbf{n}$ sei der Normalenvektor. $P_1$ und $P_2$ sollen ''nicht'' parallel sein.

Die Normalkrümmung $k_n$ einer Flächenkurve ist die Komponente von $\gamma^{\prime\prime}$ bezüglich des Normalenvektors. Die Komponente von $\gamma^{\prime\prime}$ bezüglich der Tangentialebene heißt ''geodätische Krümmung'' $k_g$. Insgesamt gilt
\begin{equation}
	\gamma^{\prime\prime} = k_n \mathbf{n} + k_g \mathbf{e}
\end{equation}
und
\begin{equation}
	k^2 = k_n^2 + k_g^2
\end{equation}
mit dem Einheitsvektor $\mathbf{e}$ in der Tangentialebene.


=== Fundamentaltensor, Bogenlänge, Geodäten ===

'''Geodäten''' sind »geradeste« Flächenkurven, auf ihnen liegen Kurven ''kürzester'' Entfernung. Die Krümmung wird auf Geodäten minimal. Das ist genau dann der Fall, wenn die geodätische Krümmung verschwindet und $k = k_n$ wird.

<div style="width: 90%; background-color: #F9F9F9; margin: auto; border: 1px solid #A9A9A9; border-radius: 7px; -moz-border-radius: 7px; -webkit-border-radius: 7px; padding: 10px; margin-top: 25px; margin-bottom: 25px;">
<div style="text-align: center; font-weight: bold; border-bottom: 1px solid #A9A9A9; margin-bottom: 10px; padding-bottom: 4px;">Beispiel 1</div>
Ein Kreissegment mit Radius $R_1$ verbindet zwei Punkte auf einer Kugel mit Radius $R > R_1$. Längs des Kreissegments »fährt« man einen Umweg.
</div>

Das Differential der '''Bogenlänge''' $\dd s$ einer Flächenkurve genügt der {{sc|Riemann}}schen Formel
\begin{equation}
	\dd s^2 = g_{ik} \dd u^i \dd u^k
\end{equation}
(Summenkonvention) mit $g_{ik} := \langle P_i, P_k \rangle$; $(g_{ik})$ ist der metrische Tensor.

Die Differentialgleichungen der Geodäten lauten für $u^j = u^j(s)$
\begin{equation}
	u^{r\prime\prime} + \Gamma^r_{ik} u^{i\prime} u^{k\prime} = 0
\end{equation}
mit $r \in \{1,2\}$ und den {{sc|Christoffel}}symbolen $\Gamma^r_{ik}$, wobei $\Gamma^r_{ik} = \Gamma^r_{ki}$.

Genauer ist
\begin{equation}
	\begin{split}
		\Gamma^1_{ij} =& \frac{1}{2} g^{11} (g_{j1,i} + g_{i1,j} - g_{ij,1}) \\
		&+ \frac{1}{2} g^{12} (g_{j2,i} + g_{i2,j} - g_{ij,2})
	\end{split}
\end{equation}
für $r = 1$ und $(g^{rk}) = (g_{rk})^{-1}$ sowie
\begin{equation}
	\begin{split}
		\Gamma^2_{ij} =& \frac{1}{2} g^{21} (g_{j1,i} + g_{i1,j} - g_{ij,1}) \\
		&+ \frac{1}{2} g^{22} (g_{j2,i} + g_{i2,j} - g_{ij,2})
	\end{split}
\end{equation}
für $r = 2$.

<div style="width: 90%; background-color: #F9F9F9; margin: auto; border: 1px solid #A9A9A9; border-radius: 7px; -moz-border-radius: 7px; -webkit-border-radius: 7px; padding: 10px; margin-top: 25px; margin-bottom: 25px;">
<div style="text-align: center; font-weight: bold; border-bottom: 1px solid #A9A9A9; margin-bottom: 10px; padding-bottom: 4px;">Beispiel 2</div>
Bei einer Ebene ist $\Gamma^r_{ik} = 0$. Die Integration von $u^{r\prime\prime} = 0$ führt auf lineare Funktionen, d.h. auf der Ebene sind die Geodäten die ''Geraden''.
	
<div style="text-align: center; font-weight: bold; border-bottom: 1px solid #A9A9A9; margin-bottom: 10px; padding-bottom: 4px; margin-top: 20px;">Beispiel 3</div>
Für Kugelkoordinaten nehmen wir $u^1 := \vartheta$ (Parameter), $u^2 := \varphi$ und betrachten $u^2 = \text{const.}$ Für $r=1$ erhalten wir $u^{1\prime\prime} = 0$, $u^{2\prime} = 0$ und $0 = 0$. Für $r = 2$ wird ebenfalls alles null. Großkreise (durch Nord- und Südpol) sind also Geodäten.
</div>

Um Entfernungen auf gekrümmten Flächen zu berechnen, benötigt man noch ''Randbedingungen'' und bekommt ein ''nichtlineares Randwertproblem''.


=== Differentialgleichungssystem 1. Ordnung für die Geodäten ===

Ein '''System erster Ordnung''' mit vier Differentialgleichungen erhält man aus den Differentialgleichungen zweiter Ordnung wie folgt:
\begin{equation}
	\begin{split}
		&v' = x(t), \ x' = - 2\Gamma^2_{12} x(t) y(t), \ u' = y(t), \\
		&y' = - \Gamma^1_{11} y(t)^2 - \Gamma^1_{22} x(t)^2
	\end{split}
\end{equation}
mit $u := u^1$, $v := u^2$ bei $\Gamma^2_{11} = \Gamma^2_{22} = 0$, $\Gamma^1_{12} = 0$ und ''vier'' Randbedingungen (nur für $u$ und $v$, nicht für $x$ und $y$!)
\begin{equation}
	u(0) = \vartheta_1, \ u(1) = \vartheta_2, \ v(0) = \varphi_1, \ v(1) = \varphi_2.
\end{equation}