Editing Entfernungsberechnung mit Quaternionen und Geodäten (section)

== Ausgangssituation und theoretische Grundlagen ==

Die Berechnung der Entfernung zwischen zwei Punkten auf der Erdoberfläche ist nicht trivial, denn die Erde ist keine perfekte Kugel. Tatsächlich hat die Erde, bedingt durch ihre Eigenrotation, die Gestalt eines abgeflachten Rotationsellipsoiden. Um die Position der betrachteten Punkte beschreiben zu können, muss zunächst eine geeignete Parametrisierung dieser Oberfläche erarbeitet werden.

Einstweilen wird daher eine Parametrisierung über die vereinfachende Annahme einer Kugelform hergeleitet und später auf das Modell eines abgeflachten Rotationsellipsoiden überführt.

=== Parametrisierung der Erde als Kugel ===

Der Sinn und Zweck der Kugelparametrisierung besteht darin, explizite Zusammenhänge für die $x$-, $y$- und $z$-Koordinaten einer Kugel zu erhalten. Die Grundannahme besteht in einer Kugel mit einem gegebenen Radius $r$, deren Mittelpunkt im Koordinatenursprung $(0,0,0)^\mathrm{T}$ liegt. Alle zu betrachtenden Punkte liegen auf der Kugeloberfläche; Höhenunterschiede auf der Kugeloberfläche werden vernachlässigt (keine topografische Modellierung).

Jeder Punkt $\tilde{\mathbf{P}}_i$ auf der Kugeloberfläche lässt sich nun durch zwei Winkel $\vartheta_i$ und $\varphi_i$ beschreiben:
\begin{gather}
	\tilde{\mathbf{P}}_i (\vartheta_i,\varphi_i) = \begin{pmatrix} \tilde{P}_x(\vartheta_i,\varphi_i) \\ \tilde{P}_y(\vartheta_i,\varphi_i) \\ \tilde{P}_z(\vartheta_i) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r \sin \vartheta_i \cos \varphi_i \\ r \sin \vartheta_i \sin \varphi_i \\ r \cos \vartheta_i \end{pmatrix} \\
	\text{mit } r = \text{const.}, \vartheta_i \in [0,\pi], \varphi_i \in [0,2\pi[. \notag
\end{gather}

[[File:Gradnetz erde.svg|thumb|right|250px|Gradnetz der Erde]]

Zur Anwendung dieser Parametrisierung auf das Gradnetz der Erde ist eine Winkelanpassung notwendig, denn das Gradnetz der Erde läuft von $180^\circ$ W bis $180^\circ$ E bzw. $90^\circ$ N bis $90^\circ$ S (vgl. nebenstehende Abb.). Bei dieser Gelegenheit wird der bislang noch nicht definierte Radius $r$ mit dem Erdradius $r_{\earth}$ aus dem WGS84-Referenzellipsoiden<ref>Das WGS84 (engl. ''World Geodetic System 1984'') ist ein Referenzsystem für Positionsangaben auf der Erde. Es definiert u.a. den Rotationsellipsoiden der Erde mit seinem Radius der großen Halbachse und seiner Abplattung.</ref> belegt.

Dadurch entsteht nun die endgültige Parametrisierung für einen Punkt $\hat{\mathbf{P}}_i$ auf der als Kugel angenommenen Erde mit
\begin{gather}
	\begin{split}
		\hat{\mathbf{P}}_i (\vartheta_i,\varphi_i) &= \begin{pmatrix} \hat{P}_x(\vartheta_i,\varphi_i) \\ \hat{P}_y(\vartheta_i,\varphi_i) \\ \hat{P}_z(\vartheta_i) \end{pmatrix}\\
		&= \begin{pmatrix} r_{\earth} \sin \left( \frac{\pi}{2} - \vartheta_i \right) \cos \varphi_i \\ r_{\earth} \sin \left( \frac{\pi}{2} - \vartheta_i \right) \sin \varphi_i \\ r_{\earth} \cos \left( \frac{\pi}{2} - \vartheta_i \right) \end{pmatrix}
	\end{split} \\
	\text{mit } r_{\earth} = 6\,378\,137\,\text{m}, \vartheta_i \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right], \varphi_i \in \, ]-\pi,\pi]. \notag
\end{gather}

Die Berechnung der Distanz zwischen zwei Punkten auf der Kugeloberfläche ist unter Annahme der Kugelgestalt sehr einfach zu realisieren, da es sich bei der kürzesten Verbindung beider Punkte immer um ein Bogensegment eines Kreises mit Radius $r_{\earth}$ handelt. Der Winkel $\varepsilon$ zwischen den beiden Ortsvektoren der Punkte definiert das gesuchte Kreisbogensegment, dessen Länge $d$ dann über
\begin{equation}
	d(\varepsilon) = \frac{\pi \cdot r_{\earth}}{180^\circ} \cdot \varepsilon
\end{equation}
ermittelt werden kann.


=== Überführung in einen Rotationsellipsoiden ===

Durch die Einführung eines »stauchenden« Faktors $f$ in der $z$-Koordinate ist die Überführung in einen abgeplatteten Rotationsellipsoiden nun einfach. Der Stauchungsfaktor $f_{\earth}$ entspricht dabei der Abplattung nach WGS84, die das Verhältnis von kleiner zu großer Halbachse des Erd-Rotationsellipsoiden beschreibt.

Somit kann ein Punkt $\mathbf{P}_i$ auf dem Rotationsellipsoiden der Erde durch
\begin{gather}
	\begin{split}
		\mathbf{P}_i (\vartheta_i,\varphi_i) &= \begin{pmatrix} P_x(\vartheta_i,\varphi_i) \\ P_y(\vartheta_i,\varphi_i) \\ P_z(\vartheta_i) \end{pmatrix}\\
		&= \begin{pmatrix} r_{\earth} \sin \left( \frac{\pi}{2} - \vartheta_i \right) \cos \varphi_i \\ r_{\earth} \sin \left( \frac{\pi}{2} - \vartheta_i \right) \sin \varphi_i \\ r_{\earth} f_{\earth} \cos \left( \frac{\pi}{2} - \vartheta_i \right) \end{pmatrix}
	\end{split} \\
	\text{mit } r_{\earth} = 6\,378\,137\,\text{m}, f_{\earth} = 1 - \frac{1}{298.257\,223\,563}, \notag \\
	\vartheta_i \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right], \varphi_i \in \, ]-\pi,\pi] \notag
\end{gather}
beschrieben werden.

Die Berechnung der Distanz zwischen beiden Punkten entlang der Oberfläche des Rotationsellipsoiden ist nun nicht mehr ohne Weiteres möglich.